Определение функции

Таким образом, примерно в середине XIX в. после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функции делается на идею соответствия.

Во второй половине XIX в. после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия, была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве А задана функция у = f (х), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента, а элементы у множества В - значениями функции; во втором случае х - прообразы, у - образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений х, которые, возможно, и не заполняют отрезка a Ј x Ј b, о котором говорится в определении Дирихле. Достаточно указать, например, на функцию-факториал y = n!, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например к геометрическим фигурам. При любом геометрическом преобразовании (отображении) мы имеем дело с функцией.

Общее определение функций по Дирихле сформировалось после длившихся целый век дискуссий в результате значительных открытий в физике и математике в XVIII и первой половине XIX в. Дальнейшее развитие математической науки в XIX в. основывалось на этом определении, ставшим классическим. Но уже с самого начала XX в. это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшие более широкого взгляда на функцию. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 г. книги “Основы квантовой механики” Поля Дирака, крупнейшего английского физика, одного из основателя квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходит далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н. М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30-40-х годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а “функции области”, что лучше соответствует физической сущности явлений.

В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 г. 28-летний советский математик и механик Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л. Шварца - И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов и другие.

Прослеживая исторический путь развития понятия функции невольно приходишь к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика - незавершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем.

Новое в образовании:

Практические советы по безопасности для детей разного возраста
Интернет это замечательное средство общения, особенно для стеснительных, испытывающих сложности в общении детей. Ведь ни возраст, ни внешность, ни физические данные здесь не имеют ни малейшего значения. Однако этот путь ведет к формированию Интернет-зависимости. Осознать данную проблему весьма слож ...

Коммуникативные и организаторские способности учителя
Для определения преобладающих способностей учителя начальных классов используем методику Б.А. Федоршина «Коммуникативные и организаторские склонности». Результаты заносим в таблицу 2.2 Таблица 2.2 – Оценка коммуникативных и организаторских склонностей № п/п Код Кол-во совпадений К Кол-во совпадений ...

Проблемы правового регулирования воспитательной работы с осужденными к лишению свободы
Согласно ст. 9 УИК воспитательная работа рассматривается в качестве одного из основных средств исправления осужденных. Она призвана сформировать у них уважительное отношение к человеку, обществу, труду, нормам и традициям человеческого общежития, повысить их образовательный и культурный уровень. По ...