Определение функции

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Те вавилонские ученые, которые 4-5 тысяч лет назад нашли для площади S круга радиусом r формулу S=3r2 (грубо приближенную), тем самым установили, пусть и не сознательно, что площадь круга является функцией от его радиуса. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиеся вавилонянами, представляют собой задания функции.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. В “Геометрии” Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функции от абсцисс (х); путь и скорость - функции от времени (t) и тому подобное.

Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей “Геометрии” лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения - формулы.

Слово “функция” (от латинского functio - совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение “функция от х” стало употребляться Лейбницем и И.Бернулли; начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также термины “переменная” и “константа” (постоянная). Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак j х, называя j характеристикой функции, а также буквы х или e; Лейбниц употреблял х1, х2 вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначал через f : х, f : (x + y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f (x + y). Наряду с j Эйлер предлагает пользоваться и буквами F, Y и прочими. Даламбер делает шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие; он пишет, например, j t, j (t + s).

Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: “Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных”.

Леонард Эйлер во “Введении в анализ бесконечных” (1748) примыкает к определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его. Определение Л. Эйлера гласит: “Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств”. Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался этого определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математической науки. В некоторых своих произведениях Л. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную “свободным влечением руки”. В связи с таким взглядом Л. Эйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередь его постоянным соперником, крупным французским математиком Даламбером, возникла большая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения произвольной кривой и о том, какое из двух понятий (кривая или формула) следует считать более широким. Так возник знаменитый спор, связанный с исследованием колебаний струны.

Новое в образовании:

Анализ педагогической деятельности Асафа Мессерера
Достойный представитель известнейшей театральной династии, к которой принадлежат актёры Азарий и Рахиль Мессереры, танцовщица и педагог Суламифь Мессерер, Майя Плисецкая и сын Асафа, художник Борис Мессерер. Выпускник Московского хореографического училища, солист Большого театра, Асаф Мессерер обла ...

Социально-психологические особенности младшего школьника
Феномен вытеснения воспитательной деятельности из набора профессиональных педагогических обязанностей проявляется в полной мере в средней школе. Но его источник расположен в начальной школе. Здесь же происходит своеобразная "закладка" как положительных, так и негативных последствий самых ...

Развитие творческих способностей в контексте дополнительного образования
Третья глава исследования содержит в себе материалы, полученные с помощью таких методов сбора информации как анкетирование и экспертное интервью. Исследования были проведены в учреждениях общего и дополнительного образования, и были направлены на рассмотрение проблем, выявленных в теоретической час ...