Числовые выражения. Числовые равенства и неравенства, их свойства

Те значения неизвестного из области определения, при которых уравнение (неравенство) обращается в верное числовое равенство (неравенство), называется корнями уравнения (множеством решения неравенств).

Если область определения уравнения (неравенства) не задана, то она совпадает с областью определения выражений, входящих в данное уравнение (неравенство). Например, областью определения уравнения (3 х2): х • 2 = 4 является множество (- °о; 0) U(0;оо).

Два уравнения (неравенства) называются равносильными, если у них совпадают области определения и множества решений.

Например, уравнения (3 х2 ) : х - 2 = 4 (1) и 3 х - 2=4 (2) не равносильны, так как их области определения не совпадают. Уравнения Корень (2х - 1) 2 = х (3) и 2 х - 1 = х2 (4) не равносильны, хотя их области определения и совпадают, так как уравнение (3) имеет один корень (х = 1), а уравнение (4) - два корня (х = 1 ; х = 1).

При решении любого уравнения (неравенства) его заменяют более простым равносильным уравнением (неравенством). В начальных классах формируется следующие два основных свойства равносильных преобразований.

1. Если к обеим частям уравнения (неравенства) прибавить (вычесть) выражение, имеющее ту же область определения, что и данное уравнение (неравенство), то получим уравнение (неравенство) равносильное данному.

Например, уравнения Зх=2х+4 и 3х- 2х=4 равносильны.

2 а. Если обе части уравнения умножить на выражение, имеющее ту же область определения, и которое не обращается в нуль на этой области определения, то получим уравнение, равносильное данному.

Например уравнения (3 х - 1) • (х2 + 1) = 5 (х2 + 1) и 3х - 1=5 равносильны, а (3 х 1)* (х + 1) = 5 (х + 1) и 3 х - 1=5 не равносильны.

2 б. Если обе части неравенства умножить на выражение, имеющее ту же область определения и большее нуля на этой области определения, то получим неравенство, равносильное данному.

Например, неравенства (3 х - 1) • (х2 I) > (5 х2 1) и (3 х - 1) > 5 равносильны.

В начальных классах формируется понятие об уравнении и неравенстве, их области определения, множестве решений, равносильных преобразованиях. Покажем на примерах, как можно построить обучение по их формированию.

Пример 1. Ученикам предлагается записать с помощью уравнения решение такой задачи. Сколько детей взяло яблоки, если в вазе лежало 10 яблок и каждый из детей взял по 2 яблока и осталось в вазе два яблока?

Ученики записывают 10 - 2 х == 2 и определяют, что вместо "х" можно подставить числа 1, 2, 3, 4, 5 (находят область определения). Подбором они убеждаются, что х == 4 является корнем уравнения.

Пример 1. Для отработки умений находить область определения и множество решений неравенства учащимся можно предложить ответить на вопрос: "Какие числа можно подставить в неравенство 8 - х < 3 вместо "х" и при каких из них неравенство превращается в верное числовое неравенство?" (Вместо "х" можно взять любое число, которое меньше 9; при х = б ; 7 ; 8 получается верное числовое неравенство).

Пример 3. Для формирования понятий о равносильных уравнениях (неравенствах) и их свойствах ученикам можно предложить следующее задание.

Найдите область определения и множество решений неравенства 8 - х < 3 (1), Пользуясь неравенством (1), не решая неравенства 8-х+ 4 < 3 + 4 (2) и (8 - х) • 2 < 3 • 2 (3), найдите их области определения и множество решений.

IX. Функция: область определения, область значений, способы заданий.

Определение. Функцией называется такая зависимость переменной у от переменной X , при которой каждому значению х соответствует единственное значение у . Значения, которые может принимать х называются областью определения функции. Значения, которые принимает у называются областью значений функции.

Если функциональное соответствие задается на числовом множестве, то мы имеем числовую функцию.

Числовую функцию, как и любую другую, можно задать аналитически, парами, таблицей, графом, графиком на координатной плоскости. Например, функция у =2х-1 задана аналитически.

Новое в образовании:

Проектирование профессиональных компетенций студентов
Система непрерывного профессионального образования призвана обеспечить поступательное развитие личности студента как субъекта целеполагания собственной деятельности, ориентированного на непреходящие ценности. Анализ динамики развития современного профессионального образования показывает, что целью ...

Значение подвижных игр для развития личности ребенка
Игра является основным видом деятельности дошкольника. Она выступает и как форма организации жизни детей в дошкольном учреждении, и как средство их разностороннего развития, и как метод обучения. Игре придается большое значение в социальном становлении личности ребенка, а игровые навыки рассматрива ...

Определение функции
Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах дейс ...