Методическая система по формирования математических понятий: множества, величины, числа, алгебраических и геометрических понятий

В начальных классах формируются следующие математические понятия:

Множество, частные случаи операций над множествами.

Величина.

Геометрический материал.

Число, количественный и порядковый (аксиоматический) подходы к множеству натуральных чисел.

Операции над натуральными числами (количественный и аксиоматический подходы), их свойства.

Числовые выражения. Числовые равенства и неравенства, их свойства.

Выражения с переменными, их область определения. Тождество.

Уравнения и неравенство; их область определения и множество решений. Свойства уравнений и неравенств.

Функции: понятие, область определения, область значений, способы задания.

Множество, частные случаи операций над множествами.

Множество – это основное неопределяемое понятие.

При формировании понятия «множество» нужно научить детей задавать множество указанием характеристических свойств, перечислением элементов, с помощью кругов Эйлера-Венна; уметь определять принадлежит ли данный элемент множеству или нет; находить мощность конечного множества (количество элементов множества).

Так, показав картину, учитель спрашивает: «Что на ней изображено?» Дети отвечают, например, «Яблоки» (то есть задается множество указанием характеристического свойства). Затем учитель показывает изображение груши и спрашивает: «Входит ли она в заданное множество?» Дети отвечают: «Нет».

Формирование смысла арифметических действий над натуральными числами и их свойств базируется на основе соответствующих операций над множествами и их законов. Здесь важно использовать множества, а не их мощности, то есть при формировании смысла арифметических действий нужно избегать возможности нахождения результата операции с помощью пересчета элементов получившегося множества.

Над множествами можно выполнять 5операций.

Рассмотрим их.

Объединение множеств.

Объединением двух множеств называется такое множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Это определение легко можно проиллюстрировать на кругах Эйлера-Венна, где заштрихованная часть является результатом объединения двух множеств (рис. 2.1):

а) б) в) г)

Рис. 2.1

Основные свойства этой операции:

а) коммуникативный закон: А В = В А

б) ассоциативный закон: {А В} C = A {B C}.

Случай а) является теоретической основой формирования смысла операции сложения натуральных чисел, а коммуникативный и ассоциативный законы выступают в начальных классах как переместительное и сочетательное свойства суммы натуральных чисел.

Операцию сложения натуральных чисел можно сформировать с помощью такой практической работы. Слева на парте лежат треугольники, а справа квадраты. Учитель просит собрать вместе и назвать получившееся множество. Дети отвечают: «Мы получили геометрические фигуры». Учитель обобщает: «Мы выполнили сложение, которое обозначается знаком «+» и называется суммой (рис.2.2).

+

сумма

Рис. 2.2

Таким образом, сложение натуральных чисел рассматривается как частный случай объединения двух чисел.

Так как объединение множеств коммунитативно и ассоциативно, то переместительное и сочетательное свойства сложения можно сформировать сразу же после введения слова «сумма». Так учитель может задать вопрос: «Изменится ли сумма, если сначала в центр парты положить квадраты, а потом треугольники?

Новое в образовании:

Особенности формирования пространственных представлений у детей с задержкой психического развития
Первоначальным источником познания человека является чувственное восприятие, полученное из опыта и наблюдений. В процессе чувственного познания формируются представления, образы предметов, их свойств и отношений. Понимание логических определений, понятий находятся в прямой зависимости от того, как ...

Проблема творчества вообще и роль творчества в развитии личности
В настоящее время проявляется огромный интерес к проблемам педагогики и психологии творчества в социальной и экономической, материальной и духовной сферах жизни. Несмотря на то, что творчество изучалось и ранее, оказалось, что в современных условиях, в развитие его педагогических и психологических ...

Проверка педагогической гипотезы
Следующим этапом педагогического исследования является этап проверки научной педагогической гипотезы. Правильность или ложность гипотезы можно выяснить в ходе опытно-экспериментальной работы. Такая работа начинается с составления плана, или методики, проведения педагогического эксперимента. Суть лю ...