Этапы решения задач методом координат
Чтобы решать задачи как алгебраические, так и геометрические методом координат необходимо выполнение 3 этапов:
1) перевод задачи на координатный (аналитический) язык;
2)преобразование аналитического выражения;
3)обратный перевод, т. е. перевод с координатного языка на язык, в терминах которого сформулирована задача.
Для примера рассмотрим алгебраическую и геометрическую задачи и проиллюстрируем выполнение данных 3 этапов при их решении координатным методом.
№1. Сколько решений имеет система уравнений.
Решение:
1 этап: на геометрическом языке в данной задаче требуется найти, сколько точек пересечения имеют фигуры, заданные данными уравнениями. Первое из них является уравнением окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1, а второе — уравнением параболы.
2 этап: построение окружности и параболы; нахождение точек их пересечения.
3 этап: количество точек пересечения окружности и параболы является ответом на поставленный вопрос.
№2. Найдите множество точек, для каждой из которых расстояния от двух данных точек равны.
Решение:
Обозначим данные точки через А и В. Выберем систему координат так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ, а началом координат служила точка А Предположим далее, что АВ=а, тогда в выбранной системе координат А(0,0) и В(а,0). Точка М(х,у) принадлежит искомому множеству тогда и только тогда, когда АМ=МВ, или, что то же самое, АМ2=МВ2. Используя формулу расстояния от одной точки координатной плоскости до другой, получаем АМ2=x2+y2, MB2=(x-a)2+y2. Тогда х2+у2=(х-а)2 + у2
Равенство х2+у2=(х-а)2+у2 и является алгебраической моделью ситуации, данной в задаче. На этом заканчивается первый этап ее решения (перевод задачи на координатный язык).
На втором этапе осуществляется преобразование полученного выражения, в результате которого получаем соотношение .
На третьем этапе осуществляется перевод языка уравнения на геометрический язык. Полученное уравнение является уравнением прямой, параллельной оси Оу и отстоящей от точки А на расстояние , т.е. серединного перпендикуляра к отрезку АВ.
Задачи, обучающие координатному методу
Для разработки методики формирования умения применять координатный метод важно выявить требования, которые предъявляет логическая структура решения задач мышлению решающего. Координатный метод предусматривает наличие у обучающихся умений и навыков, способствующих применению данного метода на практике. Проанализируем решение нескольких задач. В процессе этого анализа выделим умения, являющиеся компонентами умения использовать координатный метод при решении задач. Знание компонентов этого умения позволит осуществить его поэлементное формирование.
Задача №1 . В треугольнике ABC: AC=b, AB=c, ВС=а, BD - медиана. Докажите, что .
Выберем систему координат так, чтобы точка А служила началом координат, а осью Ох - прямая АС (рис. 2).
(умение оптимально выбирать систему координат, т. е. так, чтобы наиболее просто находить координаты данных точек).
В выбранной системе координат точки А, С и D имеют следующие координаты: А(0,0), D(,0) и С(b,0)
(умение вычислять координаты заданных точек). Обозначим координаты точки В через х и у. Тогда используя формулу для нахождения расстояний между двумя точками, заданными своими координатами, получаем:
х2+у2=с2 , (x-b)2+y2=a2 (1)
(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)
По той же формуле . (2)
Используя формулы (1) находим х и у.
Они равны:
;
.
Далее, подставляя х и у в формулу (2), находим .
.
(умение выполнять преобразования алгебраических выражений)
Задача №2. Найти множество точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная.
Новое в образовании:
Сущность понятия «экологическая культура»
Одним из ведущих аспектов науки с конца прошлого столетия становится экология. Сферу реальной жизнедеятельности человека, можно назвать экологической культурой. В понятие экологической культуры входят два компонента: экология и культура. В педагогическом словаре С. У. Гончаренко культура понимается ...
Мультимедиа как средство обучения
Современное образование требует изменения подходов к обучению. Прежде всего, следует добиться максимальной активизации и визуализации обучения. Этому способствует применение различных технических средств, позволяющих сократить время изложения нужной информации и современные технологии в образовании ...
Рекомендации для социального приюта в формировании навыков самообслуживания
у детей из неблагополучных семей
В работе Сунского социального приюта для детей и подростков по формированию навыков самообслуживания у детей из неблагополучных семей, хотелось бы отметить следующие положительные моменты: – обстановка в приюте весьма приятная, в помещениях уютно, что способствует благоприятному развитию детей; – н ...