Методические основы обучения координатному методу

Решения этих задач были разобраны выше.

Несмотря на недостатки метода координат такие как наличие большого количества дополнительных формул, требующих запоминания, и отсутствие предпосылок развития творческих способностей учащихся, некоторые виды задач трудно решить без применения данного метода. Поэтому изучение метода координат необходимо, однако более детальное знакомство с этим методом целесообразно проводить на факультативных занятиях. Далее приведем ряд задач для факультативов. https://neironvps.com/

Пример 1. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки, взятой на диаметре окружности, до концов любой из параллельных ему хорд постоянна.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат с началом в центре окружности. Пусть хорда МР параллельна оси Ох, а точка А принадлежит диаметру (рис. 11). Обозначим расстояние ОА через а, а расстояние от точки Р до оси Ох через b. Тогда точка А имеет координаты (а, 0). Точки Р и М принадлежат окружности с центром в начале координат и радиусом равным 1, следовательно их координаты удовлетворяют уравнению данной окружности . Используя это уравнение находим координаты точек Р() и М(). Необходимо доказать, что АМ2+АР2 не зависит от переменной b. Найдем АМ2 и АР2 используя формулу нахождения расстояния между двумя точками по их координатам: . Они соответственно равны и , а их сумма после приведения подобных равна 2а2+2. Это число не зависит от переменной b, что и требовалось доказать.

Пример 2. Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей. (Теорема Эйлера)

Решение: Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке 12.

Пусть точки А, В, С и D имеют координаты (0,0), (d,0), (c,d) и (0,d) соответственно. Следовательно, координаты точек L и P есть () и (). Найдем квадраты длин отрезков, с помощью формулы нахождения расстояния между точками по их координатам.

AD2=; BC2=; DC2=; AB2=;

AC2=; BD2=; LP2=.

Запишем выражение, которое необходимо доказать, используя найденные нами значения.

AD2+BC2+DC2+AB2=AC2+BD2+4LP2

+++=++4

Раскроем скобки, приведем подобные и получим верное равенство 0=0. Значит, сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей.

Пример 3. Диаметры AB и CD окружности перпендикулярны. Хорда ЕА пересекает диаметр СD в точке К, хорда ЕС пересекает диаметр АВ в точке L. Докажите, что если СК:KD так же как 2:1, то AL:LB так же как 3:1.

Решение: Введем прямоугольную систему координат, направив оси по данным диаметрам AB и CD (рис. 13).

Радиус окружности будем считать равным 1. Тогда точки А, В, С, D будут иметь координаты (-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1) соответственно. Так как СК:KD=2:1, то точка К имеет координаты (0,). Найдем координаты точки Е как точки пересечения прямой АК, имеющей уравнение и окружности, заданной уравнением . Получаем, что точка Е имеет координаты (). Точка L – это точка пересечения прямых СЕ и оси абсцисс, значит ординаты точки L равна 0.

Новое в образовании:

Исторический аспект проблемы санитарно-гигиенического воспитания родителей
Термин «здоровьесбережение» стал в современной педагогической литературе общепринятым и даже модным. Он имеет свою предысторию. Понятие «школьные болезни» было введен немецким врачом Р. Вирховым в 1870 г. Уже тогда для «устранения главнейших причин школьных болезней» предлагалось использовать в обр ...

Педагог дополнительного образования в условиях модернизации образования
В концепции модернизации российского образования (на период до 2010 года) в качестве существенного изменения в образовании выдвигается следующий пункт: "Динамичное развитие экономики, рост конкуренции, сокращение сферы неквалифицированного и малоквалифицированного труда, глубокие структурные и ...

Контроль знаний учащихся по биологии: требования, формы, значение
Систематический контроль знаний и умений учащихся - важная составная часть обучения. Методы контроля или проверки знаний и умений тесно связаны с методами всех остальных звеньев учебно-воспитательного процесса: методами изложения учебного материала, закрепления и повторения, обобщения и систематиза ...