Решения этих задач были разобраны выше.
Несмотря на недостатки метода координат такие как наличие большого количества дополнительных формул, требующих запоминания, и отсутствие предпосылок развития творческих способностей учащихся, некоторые виды задач трудно решить без применения данного метода. Поэтому изучение метода координат необходимо, однако более детальное знакомство с этим методом целесообразно проводить на факультативных занятиях. Далее приведем ряд задач для факультативов.
Пример 1. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки, взятой на диаметре окружности, до концов любой из параллельных ему хорд постоянна.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат с началом в центре окружности. Пусть хорда МР параллельна оси Ох, а точка А принадлежит диаметру (рис. 11). Обозначим расстояние ОА через а, а расстояние от точки Р до оси Ох через b. Тогда точка А имеет координаты (а, 0). Точки Р и М принадлежат окружности с центром в начале координат и радиусом равным 1, следовательно их координаты удовлетворяют уравнению данной окружности . Используя это уравнение находим координаты точек Р() и М(). Необходимо доказать, что АМ2+АР2 не зависит от переменной b. Найдем АМ2 и АР2 используя формулу нахождения расстояния между двумя точками по их координатам: . Они соответственно равны и , а их сумма после приведения подобных равна 2а2+2. Это число не зависит от переменной b, что и требовалось доказать.
Пример 2. Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей. (Теорема Эйлера)
Решение: Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке 12.
Пусть точки А, В, С и D имеют координаты (0,0), (d,0), (c,d) и (0,d) соответственно. Следовательно, координаты точек L и P есть () и (). Найдем квадраты длин отрезков, с помощью формулы нахождения расстояния между точками по их координатам.
AD2=; BC2=; DC2=; AB2=;
AC2=; BD2=; LP2=.
Запишем выражение, которое необходимо доказать, используя найденные нами значения.
AD2+BC2+DC2+AB2=AC2+BD2+4LP2
+++=++4
Раскроем скобки, приведем подобные и получим верное равенство 0=0. Значит, сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей.
Пример 3. Диаметры AB и CD окружности перпендикулярны. Хорда ЕА пересекает диаметр СD в точке К, хорда ЕС пересекает диаметр АВ в точке L. Докажите, что если СК:KD так же как 2:1, то AL:LB так же как 3:1.
Решение: Введем прямоугольную систему координат, направив оси по данным диаметрам AB и CD (рис. 13).
Радиус окружности будем считать равным 1. Тогда точки А, В, С, D будут иметь координаты (-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1) соответственно. Так как СК:KD=2:1, то точка К имеет координаты (0,). Найдем координаты точки Е как точки пересечения прямой АК, имеющей уравнение и окружности, заданной уравнением . Получаем, что точка Е имеет координаты (). Точка L – это точка пересечения прямых СЕ и оси абсцисс, значит ординаты точки L равна 0.
Новое в образовании:
Виды мышления
Система приемов и способов умственной деятельности помогает учащимся обнаружить, выделить, объединить существенные признаки изучаемых предметов и явлений. В психологии рассматривают следующие виды мышления (табл.1). Таблица 1 Организация мыслительной деятельности Виды мышления По форме наглядно-обр ...
Режим дня ребёнка
После года у ребенка возрастает потребность в более продолжительном бодрствовании, но какое-то время ему подходит режим 9-12 месячного ребенка. Ночью он спит 10-11 часов, днем 2 раза по 1,5-2 часа, ест 4-5 раз через 3,5-4 часа, в основном после сна. С возрастом ребенку уже не хочется есть сразу пос ...
Проблемы усвоения ролей мужчины и женщины
Значение категории пола для понимания психологических особенностей индивида и специфики его жизненного пути доказано многочисленными экспериментальными и теоретическими исследованиями. Однако в советской психологии проблематика пола представлена настолько слабо, что это дало основание И. С. Кону на ...