Методические основы обучения координатному методу

Для проведения факультатива предлагается ряд более сложных нестандартных задач, при решении которых используется метод координат.

Задача 1. Два предприятия А и В производят продукцию с одной и той же ценой m за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 р. на 1 км, а для предприятия В 20 р. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть расположен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными.

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Систему координат выберем так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу через точку А. Пусть Р произвольная точка, s1 и s2 расстояния от точки до предприятий А и В (рис.17). Тогда А(0, 0), В(300, 0), Р(х, у).

При доставке груза из пункта А расходы равны m+10s1. При доставке груза из пункта В расходы равны m+20s2. Если для пункта Р выгоднее доставлять груз с предприятия А, то m+10s1< m+20s2, откуда s1<2s2, в обратном случае получим s1>2s2.

Таким образом, границей области для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и В равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению

s1=2s2 (1)

Выразим s1 и 2s2 через координаты:

, .

Имея в виду (1), получим .

Это и есть уравнение окружности. Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, - из пункта А.

Задача 2. На плоскости даны точки А и В; найти геометрическое место точек М, удаленных от А в двое больше, чем от В.

Решение:

Выберем систему координат на плоскости так, чтобы начало координат попало в точку А, а положительная полуось абсцисс пошла по АВ. За единицу масштаба возьмем отрезок АВ. Точка А будет иметь координаты (0,0), точка В координаты (1,0). Координаты точки М обозначим через (х,у). Условие записывается в координатах так:

.

Мы получили уравнение искомого геометрического места точек. Чтобы понять, какое множество описывается этим уравнением, мы преобразуем его так, чтобы оно приняло знакомый нам вид. Возведя обе засти в квадрат, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем равенство: Зх2-8х+4+Зу2=0.

Это равенство можно переписать так:

или так: . Это уравнение окружности с центром в точке (,0) и радиусом, равным . Это значит, что наше геометрическое место точек является окружностью.

Задача 3.Дан треугольник ABC; найти центр окружности, описанной около этого треугольника.

Решение:

Примем точку А за начало координат, ось абсцисс направим от А к В. Тогда точка В будет иметь координаты (с,0), где с - длинна отрезка АВ. Пусть точка С имеет координаты (q,h), а центр искомой окружности - (а,b). Радиус этой окружности обозначим через R. Запишем в координатах принадлежность точек А(0,0), В(с,0) и C(q,h) искомой окружности:

a2+b2=R2,

(c-a)2+b2=R2,

(q-a)2+(h-b)2=R2.

Каждое из этих условий выражает тот факт, что расстояние точек А(0,0), В(с,0), C(q,h) от центра окружности (а,b) равно радиусу. Эти условия легко получить, если записать уравнение искомой окружности (окружности с центром (а,b) и радиусом R), т. е. (x-a)2+(y-b)2=R2, а затем в это уравнение вместо х и у подставить координаты точек А, В и С, лежащих на этой окружности. Эта система трех уравнений с тремя неизвестными легко решается, и мы получаем:

, ,

.

Новое в образовании:

Исследование коммуникативной функции речи у детей 5-6 лет с общим недоразвитием речи
Потребностно-мотивационная основа деятельности общения - это база способствующая развитию КФР. Именно коммуникативные задачи, встающие перед детьми, стимулируют развитие соответствующих речевых средств общения. Следовательно, для развития речи ребенка недостаточно просто предлагать ему различный яз ...

Структура педагогической деятельности
Прежде, чем приступить к рассмотрению сущности педагогических инноваций, методов их выявления и изучения, необходимо проанализировать структуру педагогической деятельности и определить, какое место занимает в ней инновационная деятельность учителя. Современные исследования Н.В. Кузьмина, В.А. Сласт ...

Виды декоративно – прикладного искусства на занятиях с детьми старшего дошкольного возраста
"Мы уверены в том, что народная игрушка является, при тщательном ее изучении, неисчерпаемым источником мудрой и творческой педагогики". Е.Флерина Матрешки Народная игрушка будит мысль и фантазию ребенка. Деревянная точеная фигурка девушки Матрены в сарафане и с платочком на голове невольн ...